Projection Transformation

正交投影（Orthographic projection）

shear

有：

M_{ortho} = [\begin{array}{cccc} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & - \frac{r + l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{t + b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{n + f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

shear

M_{persp \to ortho} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - f n \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

M_{persp} = M_{ortho} \cdot M_{persp \to ortho} = [\begin{matrix} \frac{2 n}{r - l} & 0 & \frac{l + r}{l - r} & 0 \\ 0 & \frac{2 n}{t - b} & \frac{b + t}{b - t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n + f}{n - f} & \frac{- 2 n f}{n - f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

shear

对于视椎体内部，上平面上的任意点 $(x, y, z)$
根据相似三角形，有：
$y^{'} = \frac{n}{z} y, x^{'} = \frac{n}{z} x$
在齐次坐标系下做恒等变换：
$M_{persp \to ortho} \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{n}{z} x \\ \frac{n}{z} y \\ ? \\ 1 \end{matrix}]$
由于在齐次坐标系下： $(x, y, z, 1)^{⊤}$ 与 $(k x, k y, k z, k)^{⊤}$ 都表示同一个点，有：
$M_{persp \to ortho} \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ ? \\ z \end{matrix}]$
即：
$M_{persp \to ortho} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$
近平面上的点变换前后 $z$ 值不变
把近平面的点带入（近平面上的点 $z = n$ ）
$[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ n^{2} \\ n \end{matrix}]$
观察矩阵 $M_{persp \to ortho}$ 的第三行，显然有：
$M_{persp \to ortho} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$
假设两个未知量为 $A$ 和 $B$ ：
$A n + B = n^{2}$
远平面上的点变换前后 $z$ 值不变
同理可得：
$A f + B = f^{2}$
求解 $A$ 和 $B$ ，最终可得：
$M_{persp \to ortho} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - f n \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$