View Transformation

定义相机：

• 位置：$\overrightarrow{e}$
• Look-at：$\hat{g}$
• Up direction：$\hat{t}$

我们通常将相机变换为：

• 位置：原点
• Look-at：-Z
• Up direction：Y

有：

$${\mathbf{M}}_{view}={\mathbf{R}}_{view}{\mathbf{T}}_{view}$$$${\mathbf{T}}_{view}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_e\\ 0& 0& 1& -z_e\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

目标为：将 $\hat{g}$ 旋转到 -Z，$\hat{t}$ 旋转到 Y，$\hat{g}\times \hat{t}$ 旋转到 X

可以先反过来求解：将 X 旋转到 $\hat{g}\times \hat{t}$，Y 旋转到 $\hat{t}$，Z 旋转到 $-\hat{g}$，有：

$${\mathbf{R}}_{view}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{\hat{g}\times \hat{t}}& x_t& x_{-g}& 0\\ y_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_t& y_{-g}& 0\\ z_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_t& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

得到：

$${\mathbf{R}}_{view}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_{\hat{g}\times \hat{t}}& 0\\ x_t& y_t& z_t& 0\\ x_{-g}& y_{-g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$